पास्कल का त्रिभुज (मेरु प्रस्तारा) – संयोजनों की सीढ़ी

अवधारणा पूर्णांकों की इस त्रिभुजाकार सारणी में, प्रत्येक संख्या अपने ठीक ऊपर वाली दो संख्याओं का योग है।. इसका उपयोग द्विपद गुणांकों (संयोजनों) और प्रायिकताओं की गणना के लिए किया जाता है।.

कहानी ब्लेज़ पास्कल द्वारा 17वीं शताब्दी में फ्रांस में बैठकर अपने प्रसिद्ध त्रिभुज का नक्शा बनाने से बहुत पहले, भारतीय कवि ठीक उसी संरचना का उपयोग करके "मेरु पर्वत की सीढ़ी" (मेरु प्रस्तारा) का निर्माण कर रहे थे।. 3000 ईसा पूर्व में, ऋषि पिंगला ने यह महसूस किया कि यदि आप किसी कविता में लघु और दीर्घ अक्षरों को संयोजित करने के सभी संभावित तरीकों को जानना चाहते हैं, तो आपको संख्याओं के एक पिरामिड की आवश्यकता होगी।. प्रत्येक पंक्ति अपने ऊपर की दो संख्याओं के योग से बनी थी।. जबकि पश्चिम ने अंततः इस त्रिभुज का उपयोग संभाव्यता और जुए के लिए किया, भारत ने इसका उपयोग पवित्र मंत्रों की लय को गणितीय रूप से परिपूर्ण सुनिश्चित करने के लिए किया।. यह महज एक त्रिभुज नहीं था; यह दुनिया का पहला संयोजनात्मक मानचित्र था।.

समयरेखा

सबूत

संस्कृत श्लोक: पारे पूर्णम् । पारे पूर्णम् । उपरिष्ठदेकम्। द्वयोः कोष्ठयोः समाहारः ॥ लिप्यंतरण: परे पूर्णम्। परे पूर्णम्। उपरिष्ठदेकम. द्वयोः कोष्ठयोः समाहारः। (हलायुध की टिप्पणी) अर्थ: पिंगला: “अगली पंक्ति में, खानों को भरें।” हलायुधा (स्पष्टीकरण देते हुए): “एक खाना ऊपर रखें। ऊपर के दो खानों का योग नीचे वाले खाने का मान निर्धारित करता है।” (यह पास्कल त्रिभुज बनाने की सटीक विधि का वर्णन करता है।).

संबंधित नवाचार हलायुधा ने द्विपद विस्तार गुणांकों की गणना के लिए त्रिभुज का उपयोग किया। $(a+b)^n$ और उन समस्याओं को हल करना जिनमें आपको 'n' वस्तुओं की सूची में से 'k' वस्तुओं का चयन करना होता था।‘.

मजेदार तथ्य क्या आपको पता था कि मेरु प्रस्तारा की 'सीढ़ियाँ' गुणांक हैं? $(a+b)^n$, बीजगणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण सूत्र?

आधुनिक विरासत यह पैटर्न आधुनिक आनुवंशिकी, सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत का आधार है।.